Na put uspjeha krenuo je iz svog matičnog Radnika. zbog studija karijeru nastavlja u beogradskim klubovima Ušće i Radnički.

Nakon toga pruža odlične partije za novosadsku Vojvodinu u Yu-eliti, koju je s klupe predvodio Dušan Ivković.

Odlične igre krilnog centra bile su preporuka za poziv u Partizan 1991. godine, s kojim Šarić osvaja titulu prvaka Evrope 1992. godine u Istanbulu pobjedom u finalu protiv Juventuta.

Nakon Partizana rođeni Bijeljinac nastupao je još za Profikolor, Beobanka, Honved i na Islandu.

Poslije igračke karijere posvetio se trenerskom poslu gdje također krenuo sa uspjesima.Počeo je u beogradskim Lavovima, zatim slijedi Vojvodina, Vizura, Mega Ishrana iz koje 2007 godine dolazi u Partizan za prvog pomoćnika Duška Vujoševića.

Iznenada je preminuo 2008. godine na ljetovanju u Puli u 47. godini. Osim njegovih odličnih partija , njegovi saigrači prijatelji i ljubitelji košarke Šarića posebno pamte po njegovoj dobroti.

Svake godine organizuje se memorijalni turnir “Dragiša Šarić” u znak sjećanja na prerano preminulog Bijeljinca.